Question

如圖，B，C分別是∠A兩邊上的動點，在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）通過正弦定理以及兩角和的正弦函數化簡表達式，求出A的大�。�
（II）通過余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求出面積的最大值．

解答：解：（I）因為3acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可知3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
即sin（B+C）=3sinAcosA，
在三角形中，B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosA
∴cosA=

1

3

．
（II）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴

2

3

bc=b²+c²-4≥2bc-4
∴bc≤3，
∵cosA=

1

3

∴sinA=

2 2

3

∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

2 2

3

=

2

當且僅b=c=

3

時取等號
∴△ABC面積的最大值是

2

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，考查三角形的面積的求法，考查計算能力．