Question

如圖，F(xiàn)₁和F₂分別是雙曲線

x2

3

-

y2

b2

=1  ( b＞0 )的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F₂AB是等邊三角形，則雙曲線的半焦距c=

3+

3

．

Answer 1

分析：連接AF₁，根據(jù)△F₂AB是等邊三角形可知∠AF₂B=60°，根據(jù)F₁F₂是圓的直徑可表示出|AF₁|、|AF₂|，再由雙曲線的定義可得

3

c-c=2a，即可得到離心率的值．

解答：解：連接AF₁，則∠F₁AF₂=90°，∠AF₂B=60°
∴|AF₁|=

1

2

|F1F2|=c，
|AF₂|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c，
∴

3

c-c=2a，
∴e=

c

a

=1+

3

，
又a=

3

，
∴c=

3

（1+

3

）=3+

3

故答案為：3+

3

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線的基本性質(zhì)--離心率的求法．考查基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用．