Question

（2012•溫州二模）如圖，F₁，F₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點，M，N是以F₁F₂為直徑的圓上關于X軸對稱的兩個動點．
（I）設直線MF₁、NF₂的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直線MF₁和NF₂與橢圓的交點分別為A，B和C、D．問是若存在實數λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求實數λ的值．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據F₁，F₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點，可得以F₁F₂為直徑的圓的方程，再求出直線MF₁的斜率、直線NF₂的斜率，即可求得k₁k₂的值；
（II）設直線MF₁、NF₂的方程代入橢圓方程，分別求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

，由此可求實數λ的值．

解答：解：（I）∵F₁，F₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點
∴|F₁F₂|=2，F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1
設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），且x02+y02=1
∴直線MF₁的斜率為k₁=

y0

x0+1

，直線NF₂的斜率為k₂=

-y0

x0-1

，
∴k₁k₂=

y0

x0+1

×

-y0

x0-1

=

-y02

x02-1

=1；
（II）設直線MF₁的方程為y=k₁（x+1），直線NF₂的方程為y=k₂（x-1）
將y=k₁（x+1）代入橢圓方程，消去y可得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k12

1+2k12

，x1x2=

2k12-2

1+2k12

∴|AB|=

1+k12

|x1-x2|=

2 2 (1+k12)

1+2k12

同理|CD|=

2 2 (1+k22)

1+2k12

=

2 2 (1+k12)

k12+2

∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1+2k12

2 2 (1+k12)

+

2+k12

2 2 (1+k12)

=

3

2 2

∴實數λ的值為

2 2

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線斜率的計算，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．