Question

如圖，F₁，F₂是橢圓+y²=1的左、右焦點，M，N是以F₁F₂為直徑的圓上關于X軸對稱的兩個動點．
（I）設直線MF₁、NF₂的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直線MF₁和NF₂與橢圓的交點分別為A，B和C、D．問是若存在實數λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求實數λ的值．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據F₁，F₂是橢圓+y²=1的左、右焦點，可得以F₁F₂為直徑的圓的方程，再求出直線MF₁的斜率、直線NF₂的斜率，即可求得k₁k₂的值；
（II）設直線MF₁、NF₂的方程代入橢圓方程，分別求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得，由此可求實數λ的值．
解答：解：（I）∵F₁，F₂是橢圓+y²=1的左、右焦點
∴|F₁F₂|=2，F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1
設M（x，y），則N（x，-y），且
∴直線MF₁的斜率為k₁=，直線NF₂的斜率為k₂=，
∴k₁k₂===1；
（II）設直線MF₁的方程為y=k₁（x+1），直線NF₂的方程為y=k₂（x-1）
將y=k₁（x+1）代入橢圓方程，消去y可得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∴|AB|==
同理|CD|==
∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴=+=
∴實數λ的值為．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線斜率的計算，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．