Question

【題目】設是定義在上的奇函數，且對任意實數，恒有，當時，

（1）求證： 是周期函數；

（2）當時，求的解析式；

（3）計算

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據條件利用是定義在上的奇函數， ，可得，從而證得結論；（2）利用函數的奇偶性和周期性，求得當時，函數的解析式；（3）利用周期為以及的值，可得的值.

試題解析：（1）證明：∵，∴.∴是周期為4的周期函數.

（2）∵，∴，∴，

∴，∴，

又，∴，即

（3）∵

又是周期為4的周期函數，

【方法點晴】本題主要考查函數的解析式及函數的周期性，屬于難題.對函數周期性的考查主要命題方向由兩個，一是三角函數，可以用公式求出周期；二是抽象函數，往往需要根據條件判斷出周期，抽象函數給出條件判斷周期的常見形式為:

(1) ；（2）；

（3） .