Question

已知函數f（x）=

a-b•2x

1+2x

是R上的奇函數，且f（-1）=

1

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明f（x）在R上是減函數；
（Ⅲ）解關于x的不等式：f（1-2x）+f（2-x）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據奇函數的性質建立方程關系即可求a，b的值；
（Ⅱ）根據分式函數的性質即可證明f（x）在R上是減函數；
（Ⅲ）根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a-b•2x

1+2x

是R上的奇函數，且f（-1）=

1

3

．
∴f（0）=

a-b

1+1

=0，即a=b，且f（-1）=

a-a• 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
解得a=1，則b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1-2x

1+2x

，
則f（x）=

1-2x

1+2x

=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，
∵y=1+2^x＞1且則在R上是增函數，
∴y=

2

1+2x

在R上是減函數，
則y=

2

1+2x

-1在R上是減函數
故f（x）在R上是減函數；
（Ⅲ）∵f（x）在R上是減函數且是奇函數，
∴不等式f（1-2x）+f（2-x）＜0等價為f（1-2x）＜-f（2-x）=f（x-2）．
則1-2x＞x-2，
即x＜1．
即不等式的解集為（-∞，1）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，以及利用奇偶性和單調性解不等式，綜合考查函數性質的應用．