Question

如圖，圓O為四邊形ABCD的外接圓，AB=BD，過點D作圓O的切線交AB延長線于點P，∠PBD的角平分與DC的延長交于點E．
（1）若AB=3，PD=2

7

，求AD的長；
（2）求證：BE²=CE•DE．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由已知得PD²=PB•PA，從而PB=4，由已知得△APD∽△PBD，從而

AD

BD

=

PD

PB

，由此能求出AD．
（2）連結BO，由AB=BD，得BO是∠ABD的平分線，從而得到BE是圓O的切線，由此能證明BE²=CE•DE．

解答： （1）解：∵AB=BD=3，PD=2

7

，過點D作圓O的切線交AB延長線于點P，
∴PD²=PB•PA，即(2

7

)2=PB(PB+3)，
解得PB=4或PB=-7，（舍），
在△APD，△PBD中，
∵∠A=∠BDP，∠P=∠P，
∴△APD∽△PBD，
∴

AD

BD

=

PD

PB

，
∴AD=

PD•BD

PB

=

2 7 ×3

4

=

3 7

2

．
（2）證明：連結BO，∵AB=BD，
∴BO是∠ABD的平分線，
∵∠PBD的角平分與DC的延長交于點E．
∴∠OBE=90°，
∴BE是圓O的切線，
∴BE²=CE•DE．

點評：本題考查線段長的求法，考查等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．