Question

已知兩向量a、b，求證：若|a＋b|＝|a－b|，則a的方向與b的方向垂直；反之也成立．

Answer 1

答案：
解析：

探究：要證明a的方向與b方向垂直，只需證明以a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形，即證兩對角線長度相等即可． 　　證明：①若|a＋b|＝|a－b|，設(shè)＝a，＝b，以、為鄰邊作平行四邊形，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||，又|a＋b|＝|a－b|， 　　∴||＝||， 　　即平行四邊形OACB的對角線相等， 　　∴平形四邊形OACB為矩形， 　　∴a與b的方向垂直． 　　②若a與b的方向垂直，如圖所示，設(shè)＝a，＝b，以、為鄰邊的平行四邊形為矩形． 　　∴||＝||，而＝a＋b，＝a－b， 　　∴|a＋b|＝|a－b|． 　　規(guī)律總結(jié)：此題的證明關(guān)鍵利用了兩個向量和與差的幾何意義，同時指出了平行四邊形兩對角線向量分別是鄰邊向量的和與差，本題求證的結(jié)論非常重要，應(yīng)領(lǐng)會其實質(zhì)．