Question

已知平面向量

a

=（

2

，

2

），

b

=（sin

π

4

x，cos

π

4

x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上的所有的點向左平移1個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)量積和兩角和的正弦公式可得f（x），再利用周期公式即可得出周期T．
（II）依題意將函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）=2sin[

π

4

(x+1)+

π

4

]=2cos

π

4

x，函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，即函數(shù)y=g（x）與y=-k在x∈（-2，4）有兩個交點，即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x
=2(

2

2

sin

π

4

x+

2

2

cos

π

4

x)
=2sin(

π

4

x+

π

4

)，
∴T=

2π

π 4

=8．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為8．
（Ⅱ）依題意將函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位后得到函數(shù)
y=g（x）=2sin[

π

4

(x+1)+

π

4

]=2cos

π

4

x，
函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，即函數(shù)y=g（x）與y=-k在x∈（-2，4）有兩個交點，如圖所示．
∴當0＜-k＜2，即-2＜k＜0，
∴實數(shù)k取值范圍為-2＜k＜0．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)量積和兩角和的正弦公式、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．