【題目】如圖，過拋物線
（
）上一點
，作兩條直線分別交拋物線于點
，
，若
與
的斜率滿足
.
（1）證明：直線
的斜率為定值，并求出該定值；
（2）若直線在
軸上的截距
，求
面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析，
；（2）
.
【解析】
（1）由拋物線
（
）過點
，求得
，設
，
，由
，得到
，利用點差法可得
（
）=
，從而可得結果；（2）設直線
的方程為
，聯立直線方程與拋物線方程可得，
，利用點到直線距離公式、弦長公式，由三角形面積公式可得
，利用導數研究函數的單調性，由單調性可得三角形面積的最大值.
（1）由拋物線（）過點，得
，即.
設，，因為，所以
.
因為
，
，代入上式得到
，
通分整理得，
設直線的斜率為
，由，，
兩式相減可化為
得（）=.
由于，將其代入上式得
.
（2）設直線的方程為，
由
，
得，
因為
，所以
，且
，
，
所以
.
又點
到直線的距離為
，
所以.
令
，其中
，
則由
，
當
時，
，所以
單調遞減；當
，
，所以單調遞增，故的最大值為
，
故
的面積
的最大值為
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[2019·武邑中學]已知關于
的一元二次方程
，
（1）若一枚骰子擲兩次所得點數分別是
，
，求方程有兩根的概率；
（2）若
，
，求方程沒有實根的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：
，
，
，
，
．
分數段 |
|
|
|
|
| 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
(1)求圖中
的值；
(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；
(3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(
)與數學成績相應分數段的人數(
)之比如下表所示，求數學成績在
之外的人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某班學生喜好體育運動是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
喜好體育運動 | 不喜好體育運動 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知按喜好體育運動與否，采用分層抽樣法抽取容量為10的樣本，則抽到喜好體育運動的人數為6.
（1）請將上面的列聯表補充完整；
（2）能否在犯錯概率不超過0.01的前提下認為喜好體育運動與性別有關？說明理由.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝
，且點M和N分別為B1C和D1D的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；
（Ⅲ）設E為棱A1B1上的點．若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為
，求線段A1E的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其圖象與
軸相鄰的兩個交點的距離為
.
（1）求函數
的解析式；
（2）若將的圖象向左平移
個長度單位得到函數
的圖象恰好經過點
，求當
取得最小值時，在
上的單調區間.
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