Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若，求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等；要證線線垂直，可通過征到線面垂直得到．（Ⅲ）因平面，故過E作PA的平行線即可找到到平面的距離

試題解析：（Ⅰ）由平面可得PA?AC，

又，所以AC?平面PAB，

所以． 4分

（Ⅱ）連BD交AC于點O，連EO，

則EO是△PDB的中位線，

所以EOPB．

又因為面，面，

所以PB平面． 8分

（Ⅲ）取中點，連接．

因為點是的中點，所以．

又因為平面，所以平面．

所以線段的長度就是點到平面的距離．

又因為，所以．

所以點到平面的距離為． 12分

考點：線面平行、線面垂直的判定與性質