Question

(本小題滿分14分)
如圖, 在四棱錐中，頂點在底面上的射影恰好落在的中點上，又∠，，且
=1:2:2.

(1) 求證:  
(2) 若, 求直線與所成的角的余弦值;
(3) 若平面與平面所成的角為, 求的值

Answer 1

（1）證明略
（2）
（3）

因為中點為點在平面ABCD內的射影, 所以底面. 以為坐標原點, 所在直線為軸, 所在直線為軸, 建立空間直角坐標系
(如圖).

（1）設, OP = h則依題意得:

--- 4分
.                      
∴= , = ,
于是·= , ∴
（2）由, 得h =" a," 于是,
--- 5分
∵= , = , ∴·= ,          
cos<,> = = , ∴ 直線與所成的角的余弦值為;
(3) 設平面的法向量為m, 可得m =" (0,1,0" ),
設平面的法向量為n = , 由= , = ,
∴ , 解得n =" (1," 2 ,), ∴ m•n =" 2" ,
cos< m, n > = , ∵ 二面角為, ∴= 4，
解得=，即=.                                   --- 5分
（以傳統方法解答相應給分）