【題目】在三棱錐
中，
是正三角形，面
面
，
，
，
、
分別是
、
的中點．
（1）證明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中點
，連接
、
，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出
且
，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出
面
，從而得出
；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出
平面
，以為坐標原點，分別以
、、所在直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量法計算出二面角
的余弦值．
（1）取的中點，連接、，
，
，
且．
又
，
面，又
面，
；
（2）由面
面，平面
平面
，
，
平面
，可得面.
故以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，
建立如圖所示空間直角坐標系：則
，
，
，
，
.
，
，設(shè)
為平面EFC的一個法向量
由
，取
，則
，
． 
.
又
為面的一個法向量，由
如圖知二面角的余弦值為.
新課標快樂提優(yōu)暑假作業(yè)陜西旅游出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面四邊形
中，
等邊三角形，
，以
為折痕將折起，使得平面
平面
．
（1）設(shè)
為
的中點，求證：
平面
；
（2）若
與平面
所成角的正切值為
，求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為
.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)與圓O：
相切的直線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求△AOB面積的最大值。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為32，48，
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．
Ⅰ
應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．
用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望和方差；
設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓
過點
，且與圓
外切于點
，過點
作圓的兩條切線
，
，切點為
，
．
（1）求圓的標準方程；
（2）試問直線
是否恒過定點？若過定點，請求出定點坐標．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，要在河岸
的一側(cè)修建一條休閑式人行道，進行圖紙設(shè)計時，建立了圖中所示坐標系，其中
，
在
軸上，且
，道路的前一部分為曲線段
，該曲線段為二次函數(shù)
在
時的圖像，最高點為
，道路中間部分為直線段
，
，且
，道路的后一段是以
為圓心的一段圓弧
．
（1）求
的值；
（2）求
的大小；
（3）若要在扇形區(qū)域
內(nèi)建一個“矩形草坪”
，
在圓弧上運動，
、
在
上，記
，則當
為何值時，“矩形草坪”面積最大．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，已知
都是邊長為
的等邊三角形，
為
中點，且
平面
，
為線段
上一動點，記
．
（1）當
時，求異面直線
與
所成角的余弦值；
（2）當
與平面
所成角的正弦值為
時，求
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在定義域
上的導函數(shù)為
，若函數(shù)
沒有零點，且
，當
在
上與在上的單調(diào)性相同時，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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