Question

正方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為a，在正方體內隨機取一點M．
（1）求M落在三棱柱ABC-A₁B₁C₁內的概率；
（2）求M落在三棱錐B-A₁B₁C₁內的概率；
（3）求M與面ABCD的距離大于

a

3

的概率；
（4）求M與面ABCD及面A₁B₁C₁D₁的距離都大于

a

3

的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：計算題,作圖題,概率與統(tǒng)計

分析：由題意，都符合幾何概型，分別求點M構成的幾何體的體積，求體積比即可．

解答： 解：由題意，都符合幾何概型，
（1）設正方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V₁，
則P=

V1

V

=

1

2

，
（2）設三棱錐B-A₁B₁C₁的體積為V₂，
則V₂=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

V，
故P=

1

6

；
（3）M與面ABCD的距離大于

a

3

時，
所有的點M構成一個底面為正方形，高為

2

3

a的長方體，
故其體積V₃=

2

3

V，
故P=

2

3

；
（4）M與面ABCD及面A₁B₁C₁D₁的距離都大于

a

3

時，
所有的點M構成一個底面為正方形，高為

a

3

的長方體，
故其體積V₄=

1

3

V，
故P=

1

3

．

點評：本題考查了幾何概型，屬于中檔題．