Question

如圖，在直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（4，3），⊙A的半徑為2，過點A作平行于x軸的直線l，點P在l上運動．
（1）當點P在⊙A上時，寫出點P的坐標
（2）當點P的橫坐標為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）當P在A的左邊且P在圓上時，BP=AB-AP=4-2=2，P的縱坐標與A的縱坐標相等；當P在A的右邊且P在圓上時，BP=AB+AP=3+2=5，P的縱坐標與A的縱坐標相等．由此能求出所有滿足題意的P的坐標．
（2）作AD⊥OP于D，得∠ADP=90°，△PAD∽△POB，由此能求出直線OP與⊙A相交．

解答： 解：（1）當P在A的左邊且P在圓上時，
BP=AB-AP=4-2=2，即為P的橫坐標，
再由P的縱坐標與A的縱坐標相等，都為OB的長，
確定出此時P的坐標P（2，3）；
當P在A的右邊且P在圓上時，
BP=AB+AP=3+2=5，即為P的橫坐標，
再由P的縱坐標與A的縱坐標相等，都為OB的長，
確定出此時P的坐標P（5，3），
綜上，得到所有滿足題意的P的坐標為（2，3）或（5，3）．
（2）直線OP與⊙A相交．
理由如下：
作AD⊥OP于D，如圖所示：
可得∠ADP=90°，
又∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，又∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，…（3分）
又PA=PB-AB=12-4=8，OB=3，
在直角三角形OBP中，OB=3，BP=12，
根據勾股定理得：OP=

9+144

=

153

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，∴AD=

PA×OB

OP

=

8×3

153

=

24

153

≈1.94＜2=r，
∴直線OP與⊙A相交．

點評：本題考查點的坐標的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，是中檔題，解題要注意圓的性質的合理運用．