Question

已知a_i＞0(i=1,2,…,n),考查①a₁·≥1;②(a₁+a₂)(+ )≥4;③(a₁+a₂+a₃)(++)≥9后歸納出對a₁,a₂,…,a_n也成立的類似不等式,并用數學歸納法加以證明.

Answer 1

解：猜想(a₁+a₂+…+a_n)(++…+)≥n².

下面用數學歸納法證明.

(1)由已知,n=1,2,3時,不等式成立.

(2)假設n=k時,不等式成立,

即有則

當n=k+1時,

≥k²+=k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1時,不等式也成立.

由(1)(2),知對任意正整數都有猜想不等式成立.

綠色通道:

用經驗歸納法猜想到的是一個不等式,在用數學歸納法證明不等式時,n=k+1時的目標必須清楚明確,證明不等式時,可用綜合法、分析法、放縮法等方法.本例用了基本不等式縮小得到目標的方法.