Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•

1

a1

≥1；
②(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
③(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
歸納出對(duì)a₁，a₂，…，a_n都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：依題意可歸納出：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)易證；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可，需注意歸納假設(shè)的利用與基本不等式的應(yīng)用．

解答：結(jié)論：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²…（3分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；…（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，
即：（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）≥k²…（7分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

+

1

ak+1

）
=（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+a_k+1（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+

1

ak+1

（a₁+a₂+…+a_k）+1
≥k²+（

ak+1

a1

+

a1

ak+1

）+（

ak+1

a2

+

a2

ak+1

）+…+（

ak+1

ak

+

ak

ak+1

）+1
≥k²+2k+1
=（k+1）²
即n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（14分）
由①②知，不等式對(duì)任意正整數(shù)n成立．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法，著重考查歸納假設(shè)的利用與基本不等式的應(yīng)用，考查推理證明的能力，屬于難題．