Question

12．過橢圓$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦點作斜率為2的直線交橢圓于A，B兩點，求線段|AB|的長度．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．橢圓的右焦點F（1，0）．直線l的方程為：y=2x-2．與橢圓方程聯立．利用弦長公式求解|AB|即可．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過橢圓$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦點（1，0）作斜率為2的直線：y=2x-2
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x-1）}\\{3{x^2}+4{y^2}=12}\end{array}$得19x²-32x+4=0，則x₁+x₂=$\frac{32}{19}$，x₁x₂=$\frac{4}{19}$，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{19}$$\sqrt{3{2}^{2}-16×19}$=$\frac{60}{19}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．