【題目】已知函數
，
（1）若函數
在
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）設函數
，證明：
是函數
有兩個零點的充分條件.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）根據
在
上單調遞增，得到
，從而得到
在上恒成立，利用基本不等式得到
的最小值，從而得到
的范圍；（2）將問題等價于“函數
有兩個零點”，利用導數得到
的單調性和最小值，再利用導數求出當
時，其最小值恒小于
，從而得到有兩個零點，從而使命題得證.
（1）函數
的定義域為
因為函數
在上單調遞增，
所以在上恒成立，，
即
在上恒成立，
即在上恒成立，
因為
當且僅當
，即
時，等號成立，
所以最小值為
所以
所以.
（2）由題意知
，
“函數
有兩個零點”等價于“方程
兩個根”，
由于
，也等價于“函數有兩個零點”
則
當
時，令
得
，令
得
，
即函數
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，
因此
，
令
，
則
當時，
所以
在
，
所以
，即
，
而，得
，
又
，
，
故函數有兩個零點
即是函數有兩個零點的充分條件.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了提高利潤，從2014年至2018年每年對生產環節的改進進行投資，投資金額與年利潤增長的數據如下表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額x（萬元） | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 |
年利潤增長y（萬元） | 7.5 | 8 | 9 | 10 | 11.5 |
（1）請用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程；
（2）如果2020年該公司計劃對生產環節的改進的投資金額為8萬元，估計該公司在該年的年利潤增長為多少？
參考公式：
，
參考數據：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓
與
軸交于
兩點，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
是橢圓上的一個動點，且直線
與直線
分別交于
兩點．是否存在點使得以
為直徑的圓經過點
？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種物質在時刻
的濃度
與
的函數關系為
（
為常數）.在
和
測得該物質的濃度分別為
和
,那么在
時,該物質的濃度為___________
;若該物質的濃度小于
,則最小的整數的值為___________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題是假命題的是（ ）
A. 某企業有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，若用分層抽樣的方法抽出一個容量為30的樣本，則一般職員應抽出18人；
B. 用獨立性檢驗（
列聯表法）來考察兩個分類變量是否有關系時，算出的隨機變量
的值越大，說明“
與
有關系”成立的可能性越大；
C. 已知向量
，
，則
是
的必要條件；
D. 若
，則點
的軌跡為拋物線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校200名高二學生平均每天體育鍛煉的時間進行調查，調查結果如下表，將學生日均體育鍛煉時間在
的學生評價為“鍛煉達標”.
平均每天鍛煉的時間/分鐘 |
|
|
|
|
|
|
總人數 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面2×2列聯表；并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？
鍛煉不達標 | 鍛煉達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進行體育鍛煉體會交流，
（ⅰ）求這5人中，男生、女生各有多少人？
（ⅱ）從參加體會交流的5人中，隨機選出3人作重點發言，求選出的這3人中至少有1名女生的概率.
參考公式：
，其中
.
臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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