Question

已知a，b，c∈R⁺，求證：

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

．

Answer 1

分析：利用基本不等式證明（a+b）+（b+c）+（a+c）≥3

3	(a+b)(b+c)(c+a)

，

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

≥3

3	1 a+b • 1 b+c • 1 a+c

，從而可得結論．

解答：證明：∵（a+b）+（b+c）+（a+c）≥3

3	(a+b)(b+c)(c+a)

，

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

≥3

3	1 a+b • 1 b+c • 1 a+c

∴[（a+b）+（b+c）+（a+c）]•（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

）≥9（當且僅當a=b=c時，取等號）
∴

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

+

a+b+c

a+c

≥

9

2

∴

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．