Question

5．①兩條平行直線L₁ L₂分別過P（-1，3），Q（2，-1）它們分別繞P、Q旋轉，但始終保  持平行，則L₁與L₂之間的距離d的取值范圍是（0，4） 
②x²+y²-2x-4y+6=0表示一個圓的方程．
③過點（-2，-3）且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為x+y=5．
④直線ax+by+1=0被圓x²+y²-2ax+a=0截得的弦長為2，則實數a的值為-2．
其中錯誤的命題是①②③．

Answer 1

分析 ①當PQ⊥l₁，PQ⊥l₂時，利用平行直線l₁，l₂的距離取得最大值|PQ|．于是可得：平行直線l₁，l₂之間的距離d的取值范圍是，（0，|PQ|]．
②由題意驗證D²+E²-4F的符號可得．
③分情況討論，直線過原點和不過原點兩種情況．
④由圓的方程，得到圓心與半徑，再求得圓心到直線的距離，利用勾股定理解．

解答 解：①當PQ⊥l₁，PQ⊥l₂時，利用平行直線l₁，l₂的距離取得最大值|PQ|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（3+1）^{2}}$=5．
所以平行直線l₁，l₂之間的距離d的取值范圍是（0，5）．故錯誤；
②由題意可得D=-2，E=4，F=6，
∴D²+E²-4F=4+16-36=-16＜0，
∴方程x²+y²-2x+4y+6=0不表示任何圖形，
故錯誤；
③直線過原點時，由兩點式易得，直線方程為y=$\frac{3}{2}$x，故錯誤；
④解：圓x²+y²-2ax+a=0可化為（x-a）²+y²=a²-a
∴圓心為：（a，0），半徑為：$\sqrt{{a}^{2}-a}$圓心到直線的距離為：d=$\frac{{a}^{2}+1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$．
∵直線ax+y+1=0被圓x²+y²-2ax+a=0截得的弦長為2，
∴a²+1+1=a²-a，
∴a=-2．故正確．
故答案是：①②③．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，直線方程的求法以及圓的一般式方程，考查計算能力．