Question

【題目】已知數列滿足：，．

（1）求最小的正實數，使得對任意的，恒有；

（2）求證：對任意的正整數，恒有．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）已知條件是數列的遞推式，比較復雜，在證明時，可先計算數列的前幾項，如．想象即歸納出結論數列是遞減數列，從而的最小值為1，因此只要證明，可用數學歸納法證（2）

證明；（2）由（1）可得數列是單調遞減的正項數列．，這樣右邊的證明較方便，只要重新放縮可得，

，從而，左邊不等式的證明較難，左邊先放縮為，從而，左右同除得：，即，利用累加法求（其中求和，可用裂項相消或錯位相減法求得），可證明不等式．

試題解析：（1）由于，，，

由此我們可以猜想為單調遞減數列，因此我們猜測的最小值為1，下面我們證明．

，故當時，數列為單調遞減數列，從而．

，由于，且當時，有

從而對任意的，恒有，又由于，從而所求的最小正實數．

（說明：若用數學歸納法證明，也同樣給滿分）

事實上，由于，假設時，，則當時，

考慮到，從而，．

從而，

從而由數學歸納法原理得：對任意的，恒有．

又由于，從而所求的最小正實數．

（2）由于，則，

從而數列是單調遞減的正項數列．

一方面，，從而

另一方面，，從而，

左右同除得：，即

設

（也可利用錯位相減法求解，兩式相減得

，從而

）

從而由，得，

當時，

從而，即，

即當時，，又當時，，從而對任意的，恒有．

綜上所示，對任意的正整數，恒有．