Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點M、N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，則a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$，利用弦長公式，即可求得則S_△AMN=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，則a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2．
橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-4x-2=0．
∴△＞0恒成立．
由根與系數的關系，得x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$，
S_△AMN=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
∴△AMN的面積$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式，屬于中檔題．