Question

已知數列{a_n}的第一項a₁=5且S_n-1=a_n（n≥2， n∈N*）。
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的表達式；
（2）用數學歸納法證明{a_n}的通項公式。

Answer 1

解：（1）a₂=S₁=a₁=5，a₃=S₂=a₁+a₂=10，
a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=5+5+10=20，
猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N*）；
（2）證明：①當n=2時，a₂=5×2^2-2=5，猜想成立，
②假設n=k時成立，即a_k=5×2^k-2（k≥2，k∈N*），
當n=k+1時，由已知條件和假設有a_k+1=S_k=a₁+a₂+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2
故n=k+1時，猜想也成立，
由①②可知，對n≥2，n∈N*有a_n=5×^₂n-2，
所以數列{a_n}的通項a_n=。