Question

已知直線x-y+1=0經過橢圓S：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點和一個頂點．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（1）在直線x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，故c=b=1，a²=2，由此能求出橢圓方程．
（2）①M(-

2

，0)，N（0，-1），M、N的中點坐標為（-

2

2

，-

1

2

），所以k=

2

2

②法一：將直線PA方程y=kx代入

x2

2

+y2=1，解得x=±

2

1+2k2

，記

2

1+2k2

=m，則P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），故直線AB方程為y=

0+mk

m+m

(x-m)=

k

2

(x-m)，代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，由此能夠證明PA⊥PB．
法二：設P（x₀，y₀），A（-x₀，-y₀），B（x₁，y₁），則C（x₀，0），由A、C、B三點共線，知

y1

x1-x0

=

y0

2x0

=

y1+y0

x1+x0

，由此能夠證明PA⊥PB．

解答：解：（1）在直線x-y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由題意得c=b=1，
∴a²=2，
則橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）①M(-

2

，0)，N（0，-1），
M、N的中點坐標為（-

2

2

，-

1

2

），
所以k=

2

2

．
②解法一：將直線PA方程y=kx代入

x2

2

+y2=1，
解得x=±

2

1+2k2

，
記

2

1+2k2

=m，
則P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直線AB方程為y=

0+mk

m+m

(x-m)=

k

2

(x-m)，
代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，
由xB+xA=

2k2m

k2+2

，
因此B(

m(3k2+2)

k2+2

，

mk3

k2+2

)，
∴

AP

=(2m，2mk)，

PB

=(

m(3k2+2)

k2+2

-m，

mk3

k2+2

-mk)=(

2mk2

k2+2

，

-2mk

k2+2

)，
∴

AP

•

PB

=

2mk2

k2+2

×2m+

-2mk

k2+2

×2mk=0，
∴

PA

⊥

PB

，故PA⊥PB．
解法二：由題意設P（x₀，y₀），A（-x₀，-y₀），B（x₁，y₁），則C（x₀，0），
∵A、C、B三點共線，
∴

y1

x1-x0

=

y0

2x0

=

y1+y0

x1+x0

，
又因為點P、B在橢圓上，
∴

x02

2

+y02=1，

x12

2

+y12=1，
兩式相減得：kPB=-

x0+x1

2(y0+y1)

，
∴kPAkPB=

y0

x0

[-

x0+x1

2(y0+y1)

]=-

(y1+y0)(x0+x1)

(x1+x0)(y0+y1)

=-1，
∴PA⊥PB．

點評：本題考查直線和橢圓的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．