Question

已知直線l的傾斜角為α且tanα=-2．
（Ⅰ）求sin(α+

π

6

)的值；             
（Ⅱ）求

sin2α+sin2α

1-cos2α

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件利用同角三角函數的基本關系可得sinα=

2 5

5

，cosα=-

5

5

，再利用兩角和的正弦公式求得sin(α+

π

6

)的值．
（Ⅱ）根據

sin2α+sin2α

1-cos2α

=

2sinαcosα+sin2α

2sin2α

=

2cosα+sinα

2sinα

，把sinα=

2 5

5

、cosα=-

5

5

代入運算，求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l的傾斜角為α且tanα=-2，∴

π

2

＜a＜π，
∴同角三角函數的基本關系可得sinα=

2 5

5

，cosα=-

5

5

．
故有 sin(α+

π

6

)=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

2

5

5

×

3

2

-

5

5

×

1

2

=

2 15 - 5

10

．
（Ⅱ）由（1）可得

sin2α+sin2α

1-cos2α

=

2sinαcosα+sin2α

2sin2α

=

2cosα+sinα

2sinα

=

- 2 5 5 + 2 5 5

2• 2 5 5

=0．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系、二倍角公式、兩角和差的三角公式應用，屬于中檔題．