Question

設函數f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0）．若f（x）在區間[

π

4

，

π

2

]上具有單調性，且f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

4

），則f（x）的最小正周期為

 

．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,余弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由題意可得可得函數f（x）的一條對稱軸方程為x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

，x=

π

2

離最近對稱軸距離為

7π

12

-

π

2

=

π

12

，

π

4

離最近對稱軸的距離也為

π

12

，可得

T

2

=2×

π

12

+（

π

2

-

π

4

），由此求得周期T的值．

解答： 解：由f（

π

2

）=f（

2π

3

），可得函數f（x）的一條對稱軸
方程為x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

，
則x=

π

2

離最近對稱軸距離為

7π

12

-

π

2

=

π

12

，
又f（

π

2

）=-f（

π

4

），且f（x）在區間[

π

4

，

π

2

]上具有單調性，
故

π

4

離最近對稱軸的距離也為

π

12

，
∴

T

2

=2×

π

12

+（

π

2

-

π

4

）=

5π

12

，∴T=

5π

6

，
故答案為：

5π

6

．

點評：本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題．