Question

a＞0，a≠1，p：log_a（x+3）在（0，+∞）單調增，q：x²+（2a-3）+1的圖象與x軸交于不同的兩點，若p∨q為真，p∧q為假，求a范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：首先，分別求出當命題p和命題q為真命題時，實數a的取值情形，然后，根據p∧q為假命題，p∨q為真命題，這個條件，得到p，q命題一真一假，然后，確定實數a的取值范圍．

解答： 解：若命題p：log_a（x+3）在（0，+∞）上單調增，為真命題，則a＞1；
若命題q：x²+（2a-3）+1的圖象與x軸交于不同的兩點，為真命題，則△=（2a-3）²-4＞0，即a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

，
因為p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p，q命題一真一假．
（1）當p真q假時：“a＞1“且“

1

2

≤a≤

5

2

，a≠1“⇒1＜a≤

5

2

，
（2）當p假q真時：“0＜a＜1“且“a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

“⇒0＜a＜

1

2

，
綜上，實數a的取值范圍是（0，

1

2

）∪（1，

5

2

]．

點評：本題重點考查了復合命題的真假判斷和函數的性質的綜合運用等知識，屬于中檔題．