Question

如圖，CM，CN為某公園景觀湖胖的兩條木棧道，∠MCN=120°，現擬在兩條木棧道的A，B處設置觀景臺，記BC=a，AC=b，AB=c（單位：百米）
（1）若a，b，c成等差數列，且公差為4，求b的值；
（2）已知AB=12，記∠ABC=θ，試用θ表示觀景路線A-C-B的長，并求觀景路線A-C-B長的最大值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）利用a，b，c成等差數列，且公差為4，結合余弦定理，即可求b的值；
（2）利用正弦定理，求出AC，BC，再化簡，即可求觀景路線A-C-B長的最大值．

解答： 解：（1）∵a，b，c成等差數列，且公差為4，∴a=b-4，c=b+4，
∵∠MCN=120°，
∴（b+4）²=（b-4）²+b-2b（b-4）cos120°，
∴b=20；
（2）由題意，

AC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

12

sin120°

，
∴AC=8

3

sinθ，BC=8

3

sin（60°-θ），
∴觀景路線A-C-B的長y=12+8

3

sinθ+8

3

sin（60°-θ）=12+8

3

sin（60°+θ）
∴θ=30°時，觀景路線A-C-B長的最大值為12+8

3

．

點評：本題考查余弦定理、正弦定理的運用，考查三角函數知識，正確運用正弦、余弦定理是關鍵．