Question

1．下列結論中正確的序號是①②③．
①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數$y={log_a}{a^x}$（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數y=k•3^x（k＞0）（k為常數）的圖象可由函數y=3^x的圖象經過平移得到；
③函數$y=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$（x≠0）是奇函數且函數$y=x\;（\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}）$（x≠0）是偶函數；
④若x₁是函數f（x）的零點，且m＜x₁＜n，則f（m）•f（n）＜0．

Answer 1

分析 ①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數$y={log_a}{a^x}$（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②②因為k＞0，所以存在t∈R，使得k=3^t，y=k3^x=3^x+t（k＞0），；
③函數$y=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$（x≠0）是奇函數且函數$y=x\;（\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}）$（x≠0）是偶函數；
④若x₁是函數f（x）的零點，且m＜x₁＜n，則f（m）•f（n）＜0

解答 解：對于①，函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數$y={log_a}{a^x}$（a＞0且a≠1）的定義域都是R，故正確；
對于②，②因為k＞0，所以存在t∈R，使得k=3^t，y=k3^x=3^x+t（k＞0），故正確；
對于③，函數$y=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$（x≠0）滿足f（x）+f（-x）=0，是奇函數，函數$y=x\;（\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}）$（x≠0）是奇函數乘以奇函數，是偶函數，故正確；
對于④，若x₁是函數f（x）的零點，x₁兩側的函數值可以同號，則f（m）•f（n）＞0，故錯．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了函數的概念及基本性質，屬于中檔題．