Question

已知在Rt△ABC中,若∠C=90°,則cos²A+cos²B=1;在立體幾何中,給出四面體性質的猜想.

Answer 1

思路分析:考慮到平面中的圖形是直角三角形,所以我們在空間選取有3個面兩兩垂直的直四面體P—A′B′C′,且三個面分別與面A′B′C′所成的二面角為α、β、γ.

解:如圖2-1-2所示,在Rt△ABC中,cos²A+cos²B=()²+=1.

于是把結論類比到四面體P—A′B′C′中,我們猜想,三棱錐P-A′B′C′中,若三個側面PA′B′,PB′C′,PC′A′兩兩互相垂直,且分別與底面所成的角為α、β、γ,則cos²α+cos²β+cos²γ=1.

                         圖2-1-2

    深化升華 類比推理應從具體問題出發,通過觀察、分析、聯想進行對比,歸納,提出猜想.