Question

已知直線y=x+b與雙曲線2x²-y²=2相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求b的值．

Answer 1

分析：先將直線與雙曲線聯立得到的關于x的一元二次方程有兩根，除滿足△≥0外，還需滿足由OA⊥OB⇒x₁x₂+y₁y₂=0，求出b值．

解答：解：

y=x+b 2x2-y2=2

消元得：x²-2bx-b²-2=0，
△=4b²-4（-b²-2）=8b²+8＞0
∴x₁+x₂=2b，x₁x₂=-b²-2
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）-------（3分）
因為OA⊥OB⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
即：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0-------（7分）
所以：2（-b²-2）+3b²=0⇒b²=4
⇒b=±2------（12分）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系、韋達定理在直線與雙曲線位置關系判斷中的應用，注意設而不求思想的應用．