Question

已知直線y=x+b與拋物線y²=2x有兩個不同的公共點A、B，O為坐標原點．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）當b=-2時，①求證OA⊥OB；②計算△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）將直線與拋物線方程聯立，利用判別式大于0，即可求實數b的取值范圍；
（2）①利用韋達定理，結合數量積公式，即可證明OA⊥OB；
②利用三角形的面積公式，即可計算△AOB的面積．

解答：解：（1）由

y=x+b y2=2x

得，y²-2y+2b=0，由△=4-8b＞0得，b＜

1

2

…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當b=-2時，由（1）知y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
①

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

y 2 1 y 2 2

4

+y₁y₂=0，所以OA⊥OB…（7分）
②因為x₁x₂=

y 2 1 y 2 2

4

=4，x₁+x₂=（y₁+2）+（y₁+2）=y₁+y₂+4=6
所以S△OAB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

x 2 1 + y 2 1

x 2 2 + y 2 2

=

1

2

x 2 1 +2x1

x 2 2 +2x2

=

1

2

x 2 1 x 2 2 +2x1x2(x1+x2+2)

=2

10

…（10分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查向量知識的運用，屬于中檔題．