Question

已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₃=5，S₃=9．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得a₁和d的方程組，可得a₁和d，可得通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

1

anan+1

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，裂項(xiàng)相消法可求和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

a3=a1+2d=5 S3=3a1+ 3×2 2 d

，解得

a1=1 d=2

，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=1+2（n-1）=2n-1
（Ⅱ）由（1）可知a_n=2n-1，
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．