Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個正零點、，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）實數(shù)的取值范圍是，證明見解析.

【解析】

（1）由題意得出在區(qū)間上恒成立，由得出，構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上恒成立即可；

（2）由利用參變量分離法得出，將題意轉(zhuǎn)化為當直線與函數(shù)在上有兩個交點時求的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可，然后由題意得出，取自然對數(shù)得，等式作差得，利用分析得出所證不等式等價于，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.

（1），.

由題意知，不等式在區(qū)間上恒成立，

由于，當時，，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，

，所以，.

所以，不等式在區(qū)間上恒成立，

因此，當時，函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

（2）令，可得

令，則.

當時，，當時，.

當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.

，

當時，，當時..

時，函數(shù)有兩個正零點，因此，實數(shù)的取值范圍是.

由上知時，，

由題意得，上述等式兩邊取自然對數(shù)得，

兩式作差得，，

要證，即證.

由于，則，即證，

即證，令，即證，其中.

構(gòu)造函數(shù)，其中，即證在上恒成立.

，所以，函數(shù)在區(qū)間上恒成立，

所以，，因此，.