Question

20．已知下列命題：
①?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³；
②若f（x）=2^x-2^-x，則?x∈R，f（-x）=-f（x）；
③若f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；
④在△ABC中，若A＞B，則sin A＞sin B．
其中真命題是①②④．（將所有真命題序號都填上）

Answer 1

分析 利用命題的否定判斷①的正誤；函數的奇偶性判斷②的正誤；方程的解判斷③的正誤；三角形中碳鋼正弦定理判斷④的正誤；

解答 解：對于①?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³；滿足命題的否定形式，正確；
②若f（x）=2^x-2^-x，則?x∈R，f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x）；函數是奇函數，正確；
③若f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x+$\frac{1}{x+1}$=1，可得x²+x+1=x+1，解得x=0，所以?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；不正確；
④在△ABC中，若A＞B，則sin A＞sin B．在三角形中大角對大邊，∵A＞B，∴a＞b，由正弦定理可得
從而a=2RsinA，b=2RsinB，∴2RsinA＞2RsinB，∴sinA＞sinB．所以④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，考查命題的否定函數的奇偶性，解三角形，是基本知識的考查．