Question

4．定義在R上的函數y=f（x）滿足：f（x）+f'（x）＞1，f（0）=2018，則不等式e^xf（x）-e^x＞2017（其中e為自然對數的底數）的解集為（　　）

• A． （2017，+∞）
• B． （-∞，0）∪（2017，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，則可判斷g′（x）＞0，故g（x）為增函數，結合g（0）=2017，即可得出答案．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，e^x＞0，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴g（x）是R上的增函數，
f（0）=2018，
又g（0）=f（0）-1=2017，
∴g（x）＞2017的解集為（0，+∞），
即不等式e^xf（x）-e^x＞2017的解集為（0，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，構造函數g（x）是解題的關鍵，屬于中檔題．