Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，當(dāng)x＞ 時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，

令y=x= ，得f（1）=f（ ）+f（ ）+ =

（2）解：設(shè)x＞0 則x+ ．

∴ ．

即f（x）＞﹣ ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＞x2

則x1﹣x2＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）+ ＞f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)

【解析】（1）利用賦值法，令y=x= 即可求得f（1）的值；（2）由當(dāng)x＞ 時(shí)，f（x）＞0，結(jié)合給出的等式得到當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞﹣ ，然后利用函數(shù)單調(diào)性定義，借助于題目給出的等式判斷．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．