Question

【題目】已知函數，都在處取得最小值.

（1）求的值；

（2）設函數，的極值點之和落在區間，，求的值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1)先求 ，再求 ，列式可得導函數變化規律，確定單調性，得到最小值取法，即得 ，再根據在 處取得最小值得a，最后求的值；(2)求導數，再求導函數的導數，根據導函數單調性以及零點存在定理得確定零點個數及其范圍，最后確定極值點之和范圍，進而得到k的值.

詳解：（1），令得，則，的變化情況如下表：

	-		+
		極小值

∴當時，函數取得最小值，∴，；

當時，函數是增函數，在沒有最小值，當時，，

當且僅當，即，有最小值，

∴.

（2），，設，

∵，∴當時，即單調遞減，

當時，即單調遞增，

由（1）得，∴時，，單調遞增.

時，，單調遞減，∴在有唯一極大值點；

∵，，在單調遞增，

∴在存在唯一實數，使得，

∴時，，單調遞減，時，，單調遞增，

∴函數在有唯一極小值點；

∵，∴，，

∵，，

∴存在自然數，使得函數的所有極值點之和.