Question

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥底面，⊥，∥，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．

（1）證明：BE⊥DC；

（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出 =（0，1，1），=（2，0，0），由.=0，能證明BE⊥DC；（Ⅱ）由BF⊥AC，求出，進而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

詳解: (1)以點為原點建立空間直角坐標系如圖，可得，，，

由為棱的中點，得，故，

所以·＝0，所以BE⊥DC.

(2) ，，，

由點在棱上，設＝λ，，

故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．

由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，

即＝

設為平面的法向量，

則,即

不妨令z＝1，可得為平面FAB的一個法向量．取平面的法向量，

則cos〈n1，n2〉＝＝＝－.

易知，二面角是銳角，所以余弦值為