Question

定義數列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．證明：
（1）當n＞2，且n∈N^*時，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由條件得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）再變形得a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）最后將n從2到n+1累加即得；
（2）由（1）得，從而利用拆項相消法，將n從1到2006取值后相加，最后利用放縮法即可證得．
解答：解：（1）由a_n+1=a_n²-a_n+1得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）
∴a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）
a₂-1=a₁（a₁-1）
累加得：a_n+1-1=a_na_n-1a₁（a₁-1）
又a₁=2，則a_n+1=a_na_n-1a₁+1．

（2）∵a_n+1-1=a_n（a_n-1）∴
∴
∴．
點評：本題主要考查了用數學歸納法證明不等式，以及用拆項法證明不等式，屬于基礎題．數學歸納法是重要的數學思想方法，是證明與正整數有關的命題的一種有效方法．特別是“試驗-猜想-證明”的解題途徑又是進行研究性學習的最好方法之一．