Question

已知函數f（x）=x²+m，其中m∈R，定義數列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）當m=1時，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在實數m，使a₂，a₃，a₄構成公差不為0的等差數列？若存在，求出實數m的值，并求出等差數列的公差；若不存在，請說明理由．
（3）若正數數列{b_n}滿足：b₁=1，bn+1=2f(

bn

)-2m（n∈N*），S_n為數列{b_n}的前n項和，求使S_n＞2010成立的最小正整數n的值．

Answer 1

分析：（1）令m=1，代入確定出f（x）的解析式，由a₁=0，a_n+1=f（a_n），令n=2即可求出a₂的值，然后由a₂的值，a_n+1=f（a_n），令n=3即可求出a₃的值，同理得到a₄的值；
（2）由（1）的方法分別表示出a₂，a₃及a₄，根據等差數列的性質列出關于m的方程，根據m=0得到三項都為0，不合題意，故當m不等于0，所以當m不為0時，方程兩邊除以m，得到關于m的一元二次方程，求出方程的解即可得到m的值，確定出三項的值，用后一項減去前一項即可求出對應的公差d的值；
（3）由b₁=1，bn+1=2f(

bn

)-2m（n∈N*），根據f（x）的解析式，求出b_n+1與b_n的關系式，從而確定出正數數列{b_n}是以1為首相，2為公比的等比數列，根據等比數列的前n項和公式表示出S_n，代入不等式中即可求出正整數n的最小值．

解答：解：（1）m=1時，f（x）=x²+1，因為a₁=0，
所以a₂=f（a₁）=f（0）=1，a₃=f（a₂）=2，a₄=f（a₃）=5；（（3分），每求對一項得1分）
（2）f（x）=x²+m，則a₂=m，a₃=m²+m，a₄=（m²+m）²+m=m⁴+2m³+m²+m，（5分）
如果a₂，a₃，a₄成等差數列，
則m²+m-m=（m⁴+2m³+m²+m）-（m²+m），m⁴+2m³-m²=0，（6分）
若m=0，則a₂=a₃=a₄=0，不合題意，
故m≠0．所以，m²+2m-1=0，所以m=

-2± 8

2

=-1±

2

．（8分）
當m=-1+

2

時，公差d=a₃-a₂=m²+m-m=m²=3-2

2

，（9分）
當m=-1-

2

時，公差d=m2=3+2

2

；（10分）
（3）b₁=1，b_n+1=2（b_n+m）-2m=2b_n，（12分）
所以{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
則S_n=2ⁿ-1＞2010，即2ⁿ＞2011，解得n＞10．（15分）
所以，使S_n＞2010成立的最小正整數n的值為11．（16分）

點評：此題考查了數列的遞推式，等比數列的前n項和及確定方法，以及等差數列的性質．學生求m時注意把m=0這種情況舍去．