Question

定義數列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．證明：
（1）當n＞2，且n∈N^*時，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）1-

1

22010

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2010

＜1．

Answer 1

分析：（1）先由條件得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）再變形得a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）最后將n從2到n+1累加即得；
（2）由（1）得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，從而利用拆項相消法，將n從1到2006取值后相加，最后利用放縮法即可證得．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n²-a_n+1得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）
∴a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）
a₂-1=a₁（a₁-1）
累加得：a_n+1-1=a_na_n-1a₁（a₁-1）
又a₁=2，則a_n+1=a_na_n-1a₁+1．

（2）∵a_n+1-1=a_n（a_n-1）∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

∴

1

a1

+

1

a2

++

1

a2006

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+

1

a1

+

1

a2

++(

1

a2006-1

-

1

a2007-1

)=1-

1

a1a2a2006

＜1．

點評：本題主要考查了用數學歸納法證明不等式，以及用拆項法證明不等式，屬于基礎題．數學歸納法是重要的數學思想方法，是證明與正整數有關的命題的一種有效方法．特別是“試驗-猜想-證明”的解題途徑又是進行研究性學習的最好方法之一．