Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和（n=1，2，3，……）。按如下方式定義數(shù)列 {a_n}：a₁=m（m∈N*），對任意k∈N*，k＞1，設(shè)a_k為滿足0≤a_k≤k-1的整數(shù)，且k整除S_k，
（Ⅰ）當(dāng)m=9時，試給出{a_n}的前6項(xiàng)；
（Ⅱ）證明：k∈N*，有；
（Ⅲ）證明：對任意的m，數(shù)列{a_n} 必從某項(xiàng)起成為常數(shù)列。

Answer 1

解：（Ⅰ）m=9時，數(shù)列為9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六項(xiàng)為9，1，2，0，3，3。
（Ⅱ）；
 （Ⅲ），
由（Ⅱ）可得，
為定值且單調(diào)不增，
∴數(shù)列必將從某項(xiàng)起變?yōu)槌��?shù)，
不妨設(shè)從l項(xiàng)起為常數(shù)，則，
于是，
所以，
所以{a_n}當(dāng)n≥l+1時成為常數(shù)列。