Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n=n²+pn，n∈N^*，其中p是實數．
（1）若數列{

Sn

}為等差數列，求p的值；
（2）若對于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比數列，求p的值；
（3）在（2）的條件下，令b₁=a₁，b_n=a2n-1，其前n項和為T_n，求T_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）由題意S_n=n²+pn，n∈N^*，要使數列{

Sn

}為等差數列，根據等差數列的性質

Sn

=an+b，從而求出p值；
（2）由題意a_m，a_2m，a_4m成等比數列，根據等比數列的性質，得出關于m的等式，從而求出p值；
（3）由（2）p=1代入S_n=n²+pn，利用遞推法進行求解出a_n的通項公式，然后湊成等比數列，然后利用等比數列的求和公式進行求解；

解答：解：（1）數列{

Sn

}成等差數列的充要條件是

Sn

=an+b
即n²+pn=a²n²+2abn+b²恒成立  …（3分）
∴

a2=1 2ab=p b2=0

由此得p=0
事實上p=0時，

Sn

=

n2

=n符合題意
∴數列{

Sn

}成等差數列的充要條件是：p=0
（2）∵S_n=n²+pn
∴a₁=1+p
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+pn-[（n-1）²+p（n-1）]=2n+p-1
滿足a₁=1+p
∴a_n=2n+p-1（n∈N^*）…（9分）
由a_m，a_2m，a_4m成等比數列，得
（4m+p-1）²=（2m+p-1）（8m+p-1）
化簡得：2m（p-1）=0
∵m∈N^*
∴p=1
又當p=1時，a_m≠0，a_2m≠0，a_4m≠0
∴p=1即為所求的值，
（3）∵S_n=n²+pn，n∈N，遞推下一項S_n-1=（n-1）²+n-1，
∴S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n=2n，
∴b_n=a2n-1=2ⁿ⁺¹-2，b₁=2，
∴b_n+2=2ⁿ⁺¹，對其進行累加，
∴T_n+2n=

4(1-2n+1)

1-2

，
∴T_n=2ⁿ⁺³-2n-4；

點評：此題主要考查數列的遞推公式和等比數列及其前n項和公式，還考查了等差數列，難度系數一般，是一道中檔題，也是高考的熱點問題．