Question

已知雙曲線左右焦點分別為F₁，F₂，點P為其右支上的一點∠F₁PF₂=60°，且S_△F1PF2=

2	3

，若|PF₁|，

1

4

|F₁F₂|²，|PF₂|成等差數列，則該雙曲線的離心率（　　）

• A、

  3

• B、2

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,等差數列與等比數列,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用三角形的面積公式，及雙曲線的定義，和余弦定理，即可得到c²=a²+2，①再由等差數列的性質，結合雙曲線的定義和完全平方公式，可得a²+8=c⁴，②解得a，c，再由離心率公式，即可得到所求值．

解答： 解：由S△PF1F2=2

3

，
則有

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin60°=

3

4

|PF₁|•|PF₂|=2

3

，
則|PF₁|•|PF₂|=8，
由雙曲線的定義，可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
由余弦定理可得，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°
=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|-|PF₁|•|PF₂|
=4a²+8=4c²，
即有c²=a²+2，①
由于|PF₁|，

1

4

|F₁F₂|²，|PF₂|成等差數列，
即有|PF₁|+|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|²=2c²，
兩邊平方可得，（|PF₁|-|PF₂|）²+4|PF₁|•|PF₂|=4c⁴，
即有4a²+32=4c⁴，即a²+8=c⁴，②
由①②解得，a=1，c=

3

，
則離心率e=

c

a

=

3

．
故答案為：A．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質，考查等差數列的性質，及三角形的面積公式和余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．