Question

已知θ是三角形的一個內角，且sinθ+cosθ=

1

2

，則x²sinθ-y²cosθ=1表示（　　）

• A、焦點在x軸上的橢圓
• B、焦點在x軸上的雙曲線
• C、焦點在y軸上的橢圓
• D、焦點在y軸上的雙曲線

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：計算題,三角函數的求值,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用平方法，可得sinθcosθ＜0，再將方程化為標準方程，運用作差法，即可判斷分母的大小，進而確定焦點的位置．

解答： 解：θ是三角形的一個內角，且sinθ+cosθ=

1

2

，
則平方可得，1+2sinθcosθ=

1

4

，
則sinθcosθ=-

3

8

＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，
x²sinθ-y²cosθ=1即為

x2

1 sinθ

+

y2

- 1 cosθ

=1，
由于

1

sinθ

-

1

-cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

＜0，
則

1

sinθ

＜

1

-cosθ

，
則方程表示焦點在y軸上的橢圓．
故選C．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，注意轉化為標準方程，考查三角函數的化簡和求值，屬于中檔題和易錯題．