Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（1）若b=2，求△ABC的面積的最大值；    
（2）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：利用正弦定理化簡已知條件，根據三角形的內角和定理及誘導公式化簡，由sinC不為0，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到B的度數，
（1）根據余弦定理，由b，cosB和基本不等式，求出ac的最大值，然后利用三角形的面積公式，即可得到最大值；
（2）由求出的B的度數，根據三角形的內角和定理得到A+C的度數，用A表示出C，代入已知的等式，利用誘導公式及兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，由正弦函數的值域即可得到所求式子的取值范圍．

解答： 解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），則2cosB-1=0，
所以B=60°；
（1）由b²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac，
即ac≤4，當且僅當a=c=2，取得最大值4．
所以△ABC的面積S=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
即有面積的最大值為

3

；
（2）因為

3

sinA+sin（C-

π

6

）=

3

sinA+sin（

π

2

-A）
=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

）
又A∈（0，

2π

3

），即有A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
即有sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

）∈（1，2]．

點評：此題考查學生靈活運用正弦定理及誘導公式化簡求值，靈活運用三角形的面積公式及兩角和的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的值域，是一道中檔題．