Question

【題目】某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示，其周長(zhǎng)為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．

（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；

（Ⅱ）求面積S2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S2最大．（3）當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S1+2S2最大

【解析】

試題分析：（1）設(shè)米，通過(guò)三角形全等以及勾股定，即可用表示圖中的長(zhǎng)度，并寫出的取值范圍；

（2）表示面積，利用基本不等式求解最大值，即可求得材料的長(zhǎng)和寬的值；

（3）表示面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．

試題分析：

解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則 ．

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴關(guān)于x的函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減，

∴當(dāng) 時(shí)，S1+2S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S1+2S2最大