Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，F是橢圓C的右焦點．過點F且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）求n的值；
（2）若線段AB的垂直平分線在y軸的截距為 ，求k的值；
（3）是否存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得e= = ，a=2 ，

即有c=2，b=2，

即有n=4；

（2）解：橢圓的方程為 ，F（2，0），

直線AB的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程可得

（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，

x1+x2= ，x1x2= ，

AB的中點為（ ，k（ ﹣2）），

即為（ ， ），

由題意可得 =﹣ ，解得k=1或 ；

（3）解：假設存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線，

即有直線PA和PB的斜率之和為0，

即有 + =0，由y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2），

即有2x1x2﹣（2+t）（x1+x2）+4t=0，

代入韋達定理，可得 ﹣（2+t） +4t=0，

化簡可得t=4．

即有存在點P（4，0），使得PF為∠APB的平分線．

【解析】（1）運用離心率公式和a，b，c的關系，可得n=4；（2）求得橢圓方程，設出直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，計算即可得到所求值；（3）假設存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線，即有直線PA和PB的斜率之和為0，運用韋達定理和斜率公式，化簡整理，解方程可得t，即可判斷存在．